De parents d'origine grecque, Kosta Alex est né dans le New Jersey en 1925, il grandi au coeur de Manhattan.
Très jeune il est inscrit dans les classes d'art pour enfants talentueux. Ses essais d'adolescent sont ensuite exposés dans différents musées (Whitney, Carnegie Institute) et il remporte plusieurs distinctions.
Après son engagement dans l'armée américaine au cours de la Seconde Guerre Mondiale, Alex se rend à la National Sculpture Service à New York où il se familiarise avec diverses techniques de sculpture.
En 1947, bénéficiant d'une bourse, il s'installe à Paris pour y étudier la sculpture à l'Académie de la Grande Chaumière (1947-1951), dans les ateliers de Léopold Kretz et de Henri Martin, puis à l'Ecole des Beaux-Arts en 1954.
Il a participé dès 1962 à de nombreuses expositions de groupe : L'Objet, Musée des Arts Décoratifs, Paris, Le Salon de la Jeune Sculpture, Paris, La Biennale de Tokyo, Le Salon de Mai, Paris, Salon "Grands et Jeunes d'Aujourd'hui", ainsi qu'à d'autres manifestations à Paris, en allemagne, aux Etats-Unis, en Suisse et plus récemment, dans une des sept expositions de sculpture dans le Bouches-du-Rhône 7 Lieux, 7 Matières (2003-2004).
Sa première exposition personnelle eut lieu à Paris, en 1964 à la Galerie Claude Bernard; elle sera suivie de nombreuses présentations à Tokyo (Fuji International Art company, 1966), New York (Lefebre Gallery, 1969), Genève (Galerie Moos, 1970-74), Milan (Galleria del Naviglio, 1971-72-88), New York (Lee Ault Gallery, 1973-78), Paris (Galerie Jeanne Bucher, 1974), Bâle (Galerie Beyeler, 1975), Cologne (Turske Fine Art, 1980) et Zürich (Galerie Renée Ziegler 1980 et Knoedler AG 1983).
Alex Kosta décède en 2005.